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By Prof. Dr. sc. nat. Karl Manteuffel, Prof. Dr. sc. nat. Egon Seiffart, Dr. rer. nat. Klaus Vetters (auth.)

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The most function of those lectures is first to in short survey the basic con­ nection among the illustration thought of the symmetric staff Sn and the speculation of symmetric services and moment to teach how combinatorial equipment that come up certainly within the thought of symmetric capabilities result in effective algorithms to precise a variety of prod­ ucts of representations of Sn when it comes to sums of irreducible representations.

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1 nl bn2 ... b". = ahbWl ... =1 52 2. 4: Wenn RS = P ist und die Matrix R das Format (m, n) hat und S das Format (n, q), dtmn hat die Produktmatrix P das Format (m, q). Damit sind Rechenregeln für die Matrizen so aufgestellt. daß sie auch den in den einführenden Beispielen verlangten Anforderungen genügen. Vergleicht man mit dem Einführungsbeispiel. so ergibt sich das Zahlenschema in Tab. 5 (S. 43) z. B. als Matrixprodukt aus den Zahlenschemata in Tab. 41): 2 o 1 8 2 12 1 10 6 4 9 9 14 5 10 20 3 5 0 3 4 21 18 20 Bei der praktischen Berechnung des Produktes zweier Matrizen hat es sich als günstig erwiesen.

SrSISf. 9) Beweis: a) Zuerst soll die Richtigkeit der Behauptung für n = 2 gezeigt werden. Dann ist P = SIS2, und zu zeigen wäre, daß pT = SfS: gilt. 56 2. p) und die Matrix S2 Format (P. m). Die Matrizen SI und S2 sind daher verkettbar. Für di~ transponierten Matrizen gilt sr = [sß'). sr = [s~']. ' Produkt der i-ten Spalte von S2 mit der k-ten Zeile von SI bzw. I): das Produkt SfSY = pT besitzt das Format (m, 1). 14: [;:J -[I: I~]; -S,S, [~ ~:] p pT = [1419 9]7 = (S S STST= [32 41 1] 5 2 1 1 2 )T.

Potenzen einer Matrix Wenn die quadratische Matrix A mehrfach mit sich selbst multipliziert wird, so sprechen wir wie bei den Zahlen von den Potenzen der Matrix. Es ist also A2 = AA, A3 = A2A = AA2 usf. Wir betrachten nur Matrizen, deren Format endlich ist; für gewisse Anwendungen sind die sogenannten unendlichen Matrizen von Wichtigkeit, für welche die Definitionen und Rechenregeln, die wir für endliche Matrizen kennenlernten, nur mit gewissen Einschränkungen gelten (s. (10)). 64 2. 4. 1. 2) der Ausdruck D = a11a22 - a12a21 von besonderer (bestimmender) Bedeutung; deshalb wird er als Determinante 2.

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