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By Jurgen Wolfart

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Topics in Computational Algebra

The most objective of those lectures is first to in short survey the elemental con­ nection among the illustration conception of the symmetric workforce Sn and the speculation of symmetric features and moment to teach how combinatorial tools that come up clearly within the thought of symmetric capabilities bring about effective algorithms to precise a variety of prod­ ucts of representations of Sn when it comes to sums of irreducible representations.

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Es −1 gen¨ ugt nat¨ urlich, H g ⊆ H f¨ ur alle g zu verlangen, da H g ⊆ H ⇒ H ⊆ H g . 13 Sei f : U → V ein Gruppenhomomorphismus, N ein Normalteiler von V . Dann ist das Urbild f −1 (N ) ein Normalteiler von U ; insbesondere ist ker f ✁ U , weil {e} ✁ V . Der Beweis erfolgt einfach durch Nachrechnen: F¨ ur alle g ∈ U ist f (h) ∈ N ⇒ f (ghg −1 ) = f (g)f (h)f (g)−1 ∈ f (g)N f (g)−1 = N . ✷ Im n¨achsten Abschnitt werden wir sehen, dass alle Normalteiler von der Bauart ker f sind. 14 Sei H ein Normalteiler in der (multiplikativen) Gruppe G .

Es gibt eine Kette von Untergruppen {e} = G0 ✁ G1 ✁ . . ✁ Gn−1 ✁ Gn = G dabei jedes Gi Normalteiler in Gi+1 mit zyklischer Faktorgruppe Gi+1 /Gi . ) Zentrum Z als eine Station in der Untergruppenkette. 23 verifizieren. Die Behauptung f¨ ur die Faktorgruppe G/Z folgt aus der Induktionsannahme. Mit Hilfe des 2. Isomorphiesatzes, angewandt auf die kanonische Projektion G → G/Z , lassen sich beide Teilaussagen zur Folgerung zusammensetzen. 29 Sei p > 2 Primzahl und G eine Gruppe der Ordnung 2p . h.

Z/mn Z)∗ . 10 folgt n¨amlich leicht, dass x genau dann teilerfremd zu m1 m2 · . . · mn ist, wenn x teilerfremd zu allen Faktoren mi ist. ) und Bild und Urbild endlich und gleichm¨ achtig sind. 5 Die Eulersche Phi-Funktion Wir definieren ϕ(1) := 1 und ϕ(n) als die Anzahl der primen Restklassen modn f¨ ur alle nat¨ urlichen n > 1, also als die Anzahl der Elemente von (Z/nZ)∗ . Anders ausgedr¨ uckt: ϕ(n) ist die Anzahl der nat¨ urlichen Zahlen a ≤ n, welche zu n teilerfremd sind. h. f¨ ur alle teilerfremden n, m ∈ N gilt ϕ(nm) = ϕ(n) ϕ(m) .

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