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By Adalberto Balzarotti, Michele Cini, Massimo Fanfoni

Questo eserciziario nasce dalla raccolta di problemi d'esame assegnati agli studenti del corso di Struttura della Materia, che si colloca al confine fra il Corso Triennale e quello Magistrale. Alla positive di ciascun capitolo si trova un riepilogo ragionato di formule utili, e l’ultima parte del quantity è dedicata alle unit`di misura, alle formule di Meccanica Quantistica e alle tecniche consistent with manipolare il momento angolare, i metodi variazionale e quello perturbativo elementare. Quasi tutti i problemi sono applicazioni della Meccanica Quantistica, anche se si utilizzano nozioni di Termodinamica, Meccanica ed Elettromagnetismo. I problemi di questo manuale differiscono rispetto a quelli che caratterizzano libri di Fisica Teorica (che possono anche essere astratti o rilevanti in line with l'Astrofisica o le Interazioni Deboli, soprattutto nel fatto che) soprattutto nel fatto che questi devono alla nice determinare dei valori realistici di misure regular su atomi molecole o solidi. In Fisica, l. a. conoscenza di ogni argomento è sempre operativa, cioè comporta l'abilit`di risolvere problemi; ma di solito non basta mettere i dati in qualche formulation risolutiva. Lo studente deve riconoscere nel problema una fattispecie della teoria generale, e questo può essere arduo. consistent withò un problema abbastanza impegnativo da richiedere una comprensione approfondita della materia non implica necessariamente una soluzione lunga ed elaborata. In questo quantity gli Autori si sono proposti di presentare esercizi, ciascuno dei quali può essere svolto con pochi calcoli, tipicamente in un'ora. Tuttavia according to lo studente essi rappresentano una significativa verifica della sua preparazione. los angeles formulazione, che in alcuni problemi è modellistica, ha il pregio di evidenziare gli aspetti concettuali. I procedimenti proposti spesso non sono unici e il lettore potrebbe escogitarne altri ugualmente validi.

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D) Per determinare il tempo di vita di uno stato occorre calcolare la probabilit`a di transizione spontanea per unit`a di tempo W s . Il primo stato eccitato e` tre volte degenere e l’oscillatore pu`o occupare uno qualunque dei tre stati con probabilit`a 1/3. Inoltre, per ragioni di simmetria, non e` difficile convincersi che l’elemento dipolare tra lo stato fondamentale ed uno qualunque dei tre stati degeneri e` identico. Allora Ws = 1 4 3 3 3c2 αω | 000|r|100 |2 = 4 αω 3 | 3c2 000|x|100 |2 = 2 ω 2, 3c3 dove α e` la costante di struttura fine.

Siccome la parte angolare dell’orbitale dz2 , 3z2 − r2 , si ottiene dalla combinazione lineare di z2 − y2 e z2 − x2 , gli stati dx2 −y2 , d3z2 −r2 formano un doppietto degenere. b) Il sistema tende naturalmente al minimo dell’energia e quindi ci si aspetta che gli stati componenti il tripletto siano pi`u legati di quelli componenti il doppietto. Infatti gli orbitali atomici dx2 −y2 e dxy hanno lobi disposti, rispettivamente, lungo gli assi x ed y e lungo la bisettrice di tali assi. In tal modo lo stato di energia pi`u bassa e` il tripletto, in quanto l’energia di repulsione Coulombiana e` maggiore quando i lobi di carica puntano verso le cariche negative.

A) Dalla condizione di normalizzazione ψ|ψ = 1, si ha N(1 + β x)φ |N(1 + β x)φ = N 2 ( φ |φ + β 2 φ | x2 |φ + 2β φ | x |φ ) = = N 2 (1 + β 2 a20 ) = 1 da cui 1 , N2 = (1 + β 2 a20 ) dove si e` fatto uso delle seguenti relazioni: φ | x |φ = 0 (per parit`a) e φ | x2 |φ = 1 φ | r2 |φ = a20 . 3 b) E(β ) = ψ| H |ψ = N 2 (1 + β x)φ | H |(1 + β x)φ = = N 2 φ | H |φ + β 2 φ | xHx |φ + β φ | xH + Hx |φ = N2 φ | H0 |φ + β 2 φ | x xH − = 1 ∂ |φ + 2Fa20 β = m ∂x 26 1 = N 2 E0 + β 2 φ | x2 H0 |φ − β 2 φ | x ∂ |φ + 2Fa20 β = m ∂x = N 2 E0 + β 2 E0 a20 − x2 d β2 |φ + 2Fa20 β = φ| m r dr = N 2 E0 + β 2 E0 a20 − d β2 φ | r |φ + 2Fa20 β = 3m dr = N 2 E0 + β 2 E0 a20 + β2 φ | r |φ + 2Fa20 β = 3ma0 = N 2 E0 + β 2 E0 a20 + Fisica atomica 1 + 2Fa20 β , 2m da cui segue E(β ) = 1 + 2Fa20 β E0 + β 2 E0 a20 + 2m .

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