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By N. H. Abel, E. Galois

Zu der hinterlassenen Abllamllullg VOll Abel, S. 57-81. 1 Die Definition der Ordnung eines algebraischen Ausdrucks, wie sie auf Seite sixty seven gegeben ist, ist incorrcct und nach der auf S. 10 angefiihrten zu berichtigen. Die Ordnung eines algebraischen Ausdrucks ist additionally nicht gleich der Anzahl der in ihm ausser den bekannten Grossen auftretenden Wurzelgrossen, sondern vielmehr, wenn guy sich des Symbols V-Wie ublich zur Bezeichnung der Wurzelgrossen bedient, gleich der grossten von denjenigen Zahlen, welche angeben, wie viele solcher Wurzelzeichen sich in dem gegebenen algebraischen Ausdruck uber einander erstrecken. Dabei wird vorausgesetzt, dass, wenn ein Wurzelzeichen einen Index hat, welcher eine zusammengesetzte Zahl ist, dasselbe nach der Formel 1Jtn m -V-= VFso weit umgeformt werde, bis siimtliche Wurzelzeiehen Primzahl exponenten tragen, und dass sich keines dieser Wurzelzeichen durch Ausfuhrung der durch dasselbe angedeuteten Operation beseitigen Hisst. Kommen in einem algebraischen Ausdruck mehrere solcher auf einander oder auf algebrai. che Ausdrucke niederer Ordnung nicht reducierbarer Wurzelgrossen vor, in denen jene, die grosste Anzahl der iiber einander sich erstreekenden 'Wurzelzeichen angebenden Zahlen einander gleich sind, so giebt die Anzahl derselben den Grad des algebraischen Ausdrucks an. - Ist In die Ordnung des algebraischen Ausdrucks und bezeichnet guy die einzelnen Wurzelgrossen in der Reihenfolge, wie sie numerisch berechnet werden ter mussen, um den Wert der Wurzelgrosse m Ordnung zu erhalten, mit ""m-l . . . .

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6. Bestimmen Sie (3 600, 3 240), (360360 , 540180 ) und (232 − 1, 38 − 28 ). 7. Es seien a, b natürliche Zahlen, die beide von Null verschieden sind. Eine natürliche Zahl m mit den beiden Eigenschaften (i) a | m und b | m, d. h. m ist gemeinsames Vielfaches von a, b; (ii) für alle y ∈ N mit a | y und b | y folgt m | y, d. h. jedes gemeinsame Vielfache von a, b ist Vielfaches von m, heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches von a und b. 8. Analog zur Bemerkung im Anschluss an die Definition des größten gemeinsamen Teilers überlegt man sich jetzt, dass das kleinste gemeinsame Vielfache eine wohldefinierte natürliche Zahl ist.

Führen Sie für folgende Paare natürlicher Zahlen die Division mit Rest durch: 773 und 337, 25 · 34 · 52 und 23 · 32 · 53 , sowie 232 − 1 und 48 + 1. 3. Die Division mit Rest ist der Schlüssel zur Dezimaldarstellung natürlicher Zahlen. Ist n ∈ N, n = 0, so existiert ein maximales ∈ N derart, dass n = q · 10 + r mit eindeutig bestimmten natürlichen Zahlen 1 ≤ q ≤ 9 und 0 ≤ r < 10 gilt. Verfährt man mit dem „Rest“ r ebenso, so erhält man letztendlich die eindeutige Darstellung n = q · 10 + q −1 · 10 −1 + .

17. Eine natürliche Zahl n ist genau dann eine gerade vollkommene Zahl, wenn n = 2m · (2m+1 − 1) mit geeignetem m ∈ N ist, wobei 2m+1 − 1 eine Primzahl ist. Beweis. Wir schicken dem Beweis die folgende Bemerkung voraus: Für n ∈ N setze man S(n) := ∑d|n d. Dann überlegt man leicht, dass für natürliche Zahlen a, b, die keinen gemeinsamen Teiler haben, die Gleichheit S( a · b) = S( a ) · S( b) besteht. 18. Beweisen Sie diese Aussage. Mit dieser Vorüberlegung können wir nun den Beweis in Angriff nehmen.

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